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title: 第一章  命题与命题公式
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1.1 命题与命题联结词

判断命题有两个条件，一是语句本身是个陈述句，二是它有唯一的真值。用符号来表示命题的过程称为命题的符号化。命题为真时，其真值用&quot;T&quot;或&quot;1&quot;来表示；为假时，其真值用&quot;F&quot;或&quot;0&quot;来表示。

［单选、填空、计算、证明］常用的联结词。

1．否定

设P为命题，P的否定是一个复合命题，记作-P。符号→称作否定联结词。若P为T，-P为F；若P为F，-P为T。命题-P读作&quot;非P&quot;。联结词一的定义如表1.1所示。

表1.1 一的定义

| P | -P |
| --- | --- |
| T | F |
| F | T |

2．合取

设P、Q为两个命题，P和Q的合取是一个复合命题，记作PAQ。符号A称为合取联结词。当且仅当P、Q同时为T时，PAQ为T，其余情况PAQ为F。

P和Q的合取表示的是&quot;P并且Q&quot;的含义。联结词A的定义如表1.2所示。

表1.2 A的定义

| P | Q | PAQ |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |

3．析取

设P、Q为两个命题，P和Q的析取是一个复合命题，记作PVQ。符号V称为析取联结词。当且仅当P、Q同时为F时，PVQ的真值为F，其余情况PVQ的真值为T。

药取数学


P和Q的析取表示的是&quot;P或者Q&quot;的含义。联结词V的定义如表1.3所示。

表1.3 V的定义

| P | Q | PVQ |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |

4．条件

设P、Q为两个命题，P和Q组成的条件命题是一个复合命题，记作P→Q.符号→称为条件联结词。当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，其余情况P→Q的真值为T。

复合命题P→Q读作&quot;如果P那么Q&quot;，亦可读为&quot;若P则Q&quot;。条件联结词→的定义如表1.4所示。

表1.4 →的定义

| P | Q | P→Q |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |

5．双条件

设P、Q为两个命题，P和Q组成的双条件命题是一个复合命题，记作P→Q。符号称为双条件联结词。当P与Q的真值相同时，P→Q的真值为T，否则P→Q的真值为F。

复合命题P→Q读作&quot;P当且仅当Q&quot;。联结词→的定义如表1.5所示。

表1.5→的定义

| P | Q | P→Q |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |


1.2 命题公式的等值演算

［单选、填空、计算］命题公式。

命题演算的合式公式定义如下：

（1）单个命题变元和命题常项是合式公式，并称为原子命题公式。

（2）若A是合式公式，则（一A）是合式公式。

（3）若A、B是合式公式，则（AAB），（AVB），（A→B），（A→B）是合式公式。

（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串是合式公式。

合式公式也称为命题公式或命题形式，简称为公式。

联结词的优先次序为：，A，V，→，→。

设A为一命题公式，P1，P2，···，Pn为出现在A中的所有命题变元，对P1，P2，··，Pn各指定一个真值称为对A的一种指派或赋值。若指定的一种指派使A的值为真，则称这组值为A的成真指派；若指定的一种指派使A的值为假，则称这组值为A的成假指派。

［单选、计算］构造真值表的具体步骤。

（1）找出公式中所含的全体命题变元，设为P1，P2，·，Pn，列出2&quot;个赋值。赋值从FF···F开始，然后按二进制加法依次写出每个赋值，直到TT···T为止，或者从TT···T开始，直到FF···F为止。

（2）按从简到繁的顺序写出公式的各个子公式。

（3）对应各个赋值计算出各子公式的真值，直到最后计算出公式的真值。

［计算、证明］常用的命题定律。

在命题逻辑中，常用的命题定律列在表1.6中。

表1.6 常用的命题定律

| 双重否定律 | A--A |
| --- | --- |
| 幂等律 | AAV A,AAAA |
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 | (AVB)VCAV(BVC) |
| 结合律 |
 |
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 | (AAB)ACAA(BAC) |
|
 | AVBBVA |
| 交换律 |
 |
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 | AABBAA |


第1章 命题与命题公式

·3·

离散数学


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 | AV（BAC）（AVB）A（AVC）（V对A的分配律） |
| --- | --- |
| 分配律 | AA（BVC）（AA B）V（AAC）（A对V的分配律） |
| 吸收律 | AV(AAB)A,AA(AV B)A |
| 德摩根律 | →(AVB)→AA-B,(AAB)AV-B |
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 | AV FA,AATA |
| 同一律 |
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| 零律 | AVTT,AAF→F |
| 排中律 | AV-AT |
| 否定律 | AA-AF |
| 蕴涵等值式 | A→B-AVB |
| 等价等值式 | A→B=(A→B)A(B→A) |
| 假言易位 | A→B-B→-A |
| 等价否定等值式 | A→B-A→-B |
| 归谬论 | (A→B)A(A→-B)-A |

［填空、证明］判断两个公式是否等值有两种方法，一是真值表法，二是等值演算法或等价变换法。

1.3 联结词完备集

设S是一个联结词集合，如果任何n（n≥1）元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。我们把｛→，V｝及｛一，A｝称作命题公式的最小联结词完备集。

［单选］命题公式的联结词完备集可有以下几种：

(1)S1={-,A,V,→,→}。

(2)S2={2,A,V,→}。

-

(3)S3={-,A}。

(4)S4={-,V}。

(5)S5={-,→}。

｛↑｝和｛↓｝也是联结词完备集。


